"Hvordan kan et undervisningsforløb om matematisk modellering tilrettelægges, så det fremmer kritisk stillingtagen hos den enkelte udskolingselev", spørger Jeppe Haugaard og Jesper Scholdan Kristiansen i problemformuleringen til deres professionsbachelorprojekt fra læreruddannelsen i Aalborg ved UC Nordjylland.

Ser man på Undervisningsministeriets demotest, kan man se, at matematik bliver betragtet som et nytteorienteret fag, hvor fokus kredser om kundskaber og færdigheder. "Hermed finder matematikfaget sin begrundelse alene i kræft af tradition, studieforberedende funktion og nytten af at kunne regne. Der er altså ingen forbindelse til almene dannelsesmål på trods af ligevægten i folkeskoleloven - skolens dobbelte formål, hvor begreber som alsidig udvikling, virkelyst, erkendelse, tage stilling og handle, demokrati og deltagelse indgår som centrale medspillere til de pågældende kundskaber og færdigheder", skiver de.

Fagets kompetencemål lyder: "Eleven kan handle med dømmekraft i komplekse situationer med matematik", og det lægger op til en kobling mellem skolematematikken og livet uden for skolen.

"Elevernes manglende kobling mellem matematik i og uden for skolen kan blandt andet skyldes, at matematikundervisningen isolerer sig i sit eget univers. Et univers styret af rutinemæssige handlinger, der ikke inviterer til en transparens mellem skole- og hverdagsmatematik. Derved opleves matematikken ofte som meningsløs", skriver Jeppe Haugaard og Jesper Scholdan. Isolationsproblemet skaber udfordringer både i forhold til indretning og gennemførelse af en vellykket og udbytterig matematikundervisning.

At faget er nytteorienteret og isoleret om sig selv, ses også i den måde den typiske undervisning er opbygget, siger de og refererer til Arne Mogensen, som har inddelt den i fem faser: Ankomst, lektier, nyt stof, opgaveregning og opsummering.

Bogsystemer bruges rutinemæssigt med individuel opgaveregning frem for fælles samtale og refleksion, det giver hverken megen virkelyst eller behov for at tage stilling, og der kobles heller ikke mellem matematikken i skolen matematik i hverdag og samfund, forklarer Jesper Scholdan.

Og da undersøgelser, der er foretaget inden for området, ikke er nye, tyder alt på, at der er behov for nye tiltag. Det underbygger relevansen af vores projekt, siger Jeppe Haugaard.

Modelleringskompetence

"Eleverne skal kunne vurdere matematikkens anvendelse i samfundet. Således skal eleverne have kendskab til, og mulighed for at reflektere over, matematikkens funktion i en kontekst uden for klasseværelset. Matematisk modellering er et oplagt område for denne type undervisning", skriver de og refererer til Mogens Blomhøjs karakteristik: "Al anvendelse af matematikken uden for matematikken selv forudsætter en eller anden form for modeldannelse, hvor størrelser og relationer, der ikke selv er matematik, modelleres ved hjælp af matematiske objekter og relationer".

Matematisk modellering har sit eget kompetenceområde blandt matematikfagets seks færdigheds- og vidensområder. "Modellering vedrører dels processer, hvor matematik anvendes til behandling af situationer og problemstillinger uden for matematikken, dels analyse og vurdering af matematiske modeller, som beskriver forhold i virkeligheden".

Modellering har derfor både en produktiv side og en undersøgende side. "Modelleringskompetencen er kompleks, og den må udvikles på grundlag af konkrete erfaringer med matematisk modellering. Hertil hører færdigheder og viden inden for matematikkens tre stofområder tal og algebra, geometri og måling samt statistik og sandsynlighed. Derudover indgår elementer, som ikke primært er af matematisk art", skriver de.

"De 'åbne' dele af modelleringsprocessen kan ofte være den største udfordring, men omvendt står håndteringen af åbenhed som det centrale i modellering som læringsaktivitet, og kræver et brud med den lærerstyrede undervisning og opgaveregning", siger Jeppe Haugaard.

Tre virksomhedsformer

Med referencen til Blomhøj beskriver de i projektet tre elevvirksomhedsformer:

1: Den indledende elevvirksomhed, det afspejler et ønske om at indordne det aktuelle forløb under den sædvanlige didaktiske kontrakt. Det kan for eksempel ske gennem de spørgsmål, eleverne stiller. Elever, der bliver i den indledende virksomhed, vil have svært ved at perspektivere til generelle træk ved resultaterne af deres virksomhed.

2: Den løsningsorienterede elevvirksomhed er karakteriseret ved, at eleverne bliver i stand til at tilpasse deres virksomhed under den sædvanlige didaktiske kontrakt. Diskussion af meningen med og resultaterne af opgaven undertrykkes til fordel for kvantitative mål som at løse så mange opgaver så hurtigt som muligt. Erfaringsforudsætninger for undersøgelse og stillingtagen er til stede, men eleverne reagerer ikke på dem.

3: Den reflekterende elevvirksomhed betegner arbejdet hos elever, der reflekterer over opgaverne, og her ses sammenhæng med følelsesmæssige omstændigheder. Når målet er at fremme elevernes kritiske stillingtagen, er den reflekterende elevvirksomhed altså tilsigtet.

Det, de tre virksomhedsformer kan, kan selvfølgelig vekselvirke under forløbet, og det gør det muligt at sætte gang i en udvikling, understreges det.

24 elever i 8. klasse

Projektets empiri blev indsamlet i en 8.klasse med 24 elever, hvor Jeppe Haugaard og Jesper Scholdan underviste i seks 45-minutters lektioner, og undervisningen blev organiseret som tre sekvenser i løbet af tre dage, fortæller Jesper Scholdan. Til undervisning konstruerede de et forløb, som havde til formål at fremme kritisk stillingtagen hos den enkelte elev i klassen, supplerer Jeppe Haugaard. Inspirationen hentede de i Ole Skovmoses beskrivelse 'Familie-Journalen' fra 1994, som de opdaterede og videreudviklede i "henhold til nutidens digitale muligheder og redskaber". (Se undervisningsplanen i projektets bilag 1).

Forløbet havde fire mål: At eleverne skulle:

- få et indblik i matematikkens betydning i samfundet,

- arbejde på eget fagligt niveau,

- forholde sig kritisk til matematiske modeller,

- gennemføre de enkelte dele i en matematisk modelleringsproces.

Eleverne skulle handle ved i topersonersgrupper at konstruere realistiske familier - i alt 12 familier til et mikrosamfund. De skulle systematisere de informationer, de fandt for eksempel på internettet. Og grupperne blev støttet og udfordrer til at finde relevant information.

Tegn på kritisk stillingtagen

"Vores undersøgelse viser, at tilrettelæggelse og gennemførelse af forløbet om matematisk modellering medførte tegn på kritisk stillingtagen hos eleverne, men også at de viste tegn på forskellige niveauer", fortæller Jeppe Haugaard.

De så "et spænd lige fra en begyndende undren over matematikkens anvendelse i samfundet til en generel erkendelse af matematikkens formaterende funktion". Og når elevernes individuelle forudsætninger og udgangspunkt tages i betragtning, "kan det konkluderes, at kritisk stillingtagen er fremmet i større eller mindre omfang hos alle fokuselever", skriver de og fortsætter: "Gennem den matematiske modelleringsproces oplever eleverne først de 'åbne' dele, der kræver, at de gør sig tanker om, hvad modellen skal medtage. De efterfølgende processer, som bygger på anvendelse af matematikken, bevirker, at eleverne kan blive opmærksomme på matematikken som en styrende faktor - den formaterende funktion. Dermed er der potentiale for kritisk stillingtagen".

"Opgaves design betød, at der kunne foregå samtaler på tværs i klassen, og det er centralt for at fremme elevernes kritiske stillingtagen. Samtidig betød en 'lav indgangstærskel' og 'højt til loftet', at alle elever kunne arbejde på deres eget fagligt niveau. Det underbyggede udvidelsen af den enkeltes personlige viden, så forløbet kunne favne hver enkelte elev", siger Jesper Scholdan.

Nogle vil måske mene, at det ensidige fokus på almendannende elementer tilsidesætter elevernes tilegnelsen af kundskaber og færdigheder - det at kunne regne, lyder Jeppe Haugaard og Jesper Scholdans eget forbehold.  "Men", svarer de, "vi har erfaret, at udvidelsen af disse kundskaber og færdigheder kan gå hånd i hånd med almendannelse og sigtet om at fremme kritisk stillingtagen. Ifølge Blomhøj er det teoretiske element nødvendigt, for at der kan udvikles kritisk stillingtagen. Den teoretiske indsigt bliver til gennem en undervisning, hvor eleverne får mulighed for at forbinde matematiske begreber med deres egne erfaringer og erkendelser om forhold både i og uden for matematikken".

"Man blev udfordret…"

Det ser de flere eksempler på i undersøgelses. En elev siger for eksempel:

"Jamen, altså vi spurgte jo ind til hinanden i forhold til hver ting, vi gør, vi går ikke hen til en voksen og spørger, hvad vil være en god ide her. Men vi prøver selv at kigge på ud fra, hvad vi ved om matematik, hvad kunne være en god idé at lave her og bruge ... hvilke metoder".

En sådan ageren opstår kun, fordi læreren har forberedt et vedkommende undervisningsforløb, siger Jeppe Haugaard og Jesper Scholdan. Det er accepten af forløbet, der danner grundlag for elevernes selvstændige arbejde, så den personlige viden kommer i spil. Deres undersøgelsen viser, at det er gennem tilegnelse af personlig viden, at eleverne får deres kundskaber og færdigheder. "Man blev mere udfordret", forklarede en elev og fortsatte, "men det gjorde også, at man blev sådan lidt optaget af det; man ville gerne arbejde videre.

En anden sagde:  "så er det jo udfordrende at lave sådan en andengradsfunktion, når du skal have alle de der parametre lagt ind", og en tredje sagde: "Der var lige noget, jeg ikke kunne få til at give mening, og så sad vi og fumlede lidt med det.

"Disse citater udtrykker, hvordan eleverne viser tegn på udvidelse af den personlige viden, og det kan skabe ny viden, hvis den formaliseres til officiel viden. Denne formalisering opleves kun i mindre grad i forløbet, hvilket skal ses som en konsekvens af undersøgelsens primære fokus på kritisk stillingtagen. Derfor må vi forholde os kritisk til elevernes opnåelse af ny viden i form af kundskaber og færdigheder gennem vores forløb. Der ligger et udviklingspotentiale af kundskaber og færdigheder i et lignende, fremtidigt undervisningsforløb, hvis der i højere grad lægges vægt på formaliseringen", slutter Jeppe Haugaard og Jesper Scholdan Kristiansen.

Se hele professionsbachelorprojektet: