”Tænk lige over, hvordan I ville løse opgaven. Så viser jeg jer bagefter, hvordan eleverne gør det”, lyder det fra Loa Björk Jóelsdóttir. 

Opgaven lyder at lægge 199 og 323 sammen.

”Jeg tænker: 323 plus 200 minus 1?”, siger min sidekvinde lavmælt. Jeg nikker.

Og gennem summen af stemmer fra de godt 400 forsamlede matematikvejledere i Odense Congress Center kan man høre, at tallet 200 går igen.

Men så begynder en anden summen. 

For hvor mange elever vil oplægsholderen på scenen mon lige om lidt afsløre bruger standardalgoritmen, når de skal lave samme regnestykke?

”Det er nok flere, end man lige tror. Desværre”, lyder det på rækken bag mig.

Men lad os lige starte med at præsentere oplægsholderen.

Loa Björk Jóelsdóttir er lektor ved Via University College. I et forskningsprojekt har hun besøgt alt 121 3.-, 6.- og 8.-klasser på 20 forskellige skoler.

Her har hun stillet godt 2200 elever opgaver med hele tal inden for de fire regnearter, der lægger op til adaptive regnestrategier.

Bagefter har eleverne efter bedste evne skulle tegne eller skrive, hvordan de har løst opgaven.

Og nu til afsløringen: 85 procent af eleverne i 8. klasse bruger standardalgoritmen til at udregne opgaver á la 199 + 323.

Reaktionen i kongressalen afslører, at det var flere, end man lige gik og troede.

Eleverne bliver bedre til at regne

Den gode nyhed er, at flere elever i løbet af deres skolegang bliver i stand til at besvare opgaverne, fortæller Loa Bjórk Joelsdóttir.

Den dårlige er, at eleverne faktisk bliver bedre til at bruge adaptive strategier fra 3. til 6. klasse - men derfra stiger brugen af standardalgoritmerne markant. Brugen af adaptive strategier er stort set ens i 3. og i 8. klasse.

”Og det til trods for, at der i Fælles Mål står: 'Eleverne skal udvikle deres regnestrategier på baggrund af talforståelse. Der sigtes ikke mod opøvelse af standardalgoritmer'”, minder lektoren om.

Som næste led i sin undersøgelse bad Loa Bjórk Joelsdóttir eleverne om at regne samme stykke igen på en ny måde.

I 3. klasse kunne 77 procent af eleverne ikke komme på en anden metode at lave regnestykket på. I 6. og 8. klasse kunne omkring halvdelen af eleverne finde en anden måde at finde frem til resultatet på.

Lektoren understreger, at resultaterne varierer meget fra skole til skole. Men at der faktisk er endnu større forskel fra elev til elev internt i klasserne.

Og så er der store forskelle mellem køn. To tredjedele af pigerne bruger aldrig adaptive strategier. For drengene er tallet omkring halvdelen. En fjerdedel af drengene gør det ofte, mens det kun er tilfældet for knap 10 procent af pigerne.

”Det havde jeg faktisk oprindeligt ingen intention om at kigge på. Men da jeg så tallene, var det umuligt at se bort fra”, siger hun.

Som næste led i forskningsprojektet har Loa Bjórk Joelsdóttir undersøgt lærernes holdning til vigtigheden af fleksible tilgange til at løse regneopgaver. Jo mere positiv læreren er, des mere gør eleverne brug af adaptive regnestrategier.

”Det er måske ikke så overraskende. Men det er det måske, at jo mere positiv læreren er over for adaptivitet, des større bliver kønsforskellene. Drengene udvikler sig mere i den retning, men pigerne står stille. Jeg kan ikke sige noget om hvorfor. Men det er vi nødt til at finde ud af”, siger hun.

Hvad er egentlig problemet?

Men hvad er egentlig problemet, spørger Loa Bjórk Joelsdóttir retorisk. Er det vigtigste ikke, at eleverne lærer at regne rigtig?

Dels handler det om problemløsningskompetence, understreger hun. Hvis man er ekspert i at bruge en rutine, regner man måske rigtigt, men man har sværere ved at omstille sig, når det er påkrævet.

Desuden viser hendes undersøgelse, at elever, der aldrig bruger adaptive strategier, regner rigtigt i henholdsvis 47, 65 og 79 procent af tilfældene i 3., 6. og 8. klasse. For dem, der i højere grad bruger adaptive strategier er tallene højere.

”Så så er spørgsmålet selvfølgelig, om de dygtige bruger adaptive strategier, eller om man bliver dygtig af at bruge dem”, medgiver Loa Bjórk Joelsdóttir.

Men i forskningsprojektet har hun kigget på to typer af ’eksperter’ blandt eleverne, der stort set aldrig begår fejl. Den ene type kalder hun rutineeksperter, der bruger standardalgoritmer – den anden adaptive eksperter.

Kigger man på resultaterne i nationale test, ligger eleverne i de to ekspertgrupper - ikke overraskende - højere end ikke-eksperterne. Men kigger man på forskellen mellem de to typer af eksperter, så scorer de adaptive eksperter højest.

”Så er man nødt til at sige, at her er der noget interessant, vi er nødt til at kigge nærmere på. Ja, det er de dygtige elever, der bruger adaptive strategier, men der er også noget andet og mere i spil”, siger hun.

Ørnen er landet

Og hvordan træner man så elevernes evne til mere fleksibel matematisk tænkning? Det har konferencens keynote speaker Alan Schoenfeld et bud på.

Følelsen af, at ørnen er landet, er tydelig at aflæse på arrangørerne, da den amerikanske professor indtager scenen.

Det er nemlig langt fra første gang, Danmarks Matematiklærerforening har forsøgt at lokke ham til Danmark, lyder det i præsentationen af professoren.

Nu er det endelig lykkes. Sandsynligvis fordi den 76-årige professor er gået på pension ”uden konen har opdaget det”, lyder det til grin fra salen.

Alan Schoenfeld har haft som ambition for sin lange karriere at gøre elever til ”stærke matematiske tænkere”, fortæller han.

I den forbindelse har han besøgt hundredevis af skoler, hvor han har samarbejdet med matematiklærerne. 

Men nu er det slut, og derfor har han skrevet to bøger, lærerne må nøjes med at læse i stedet. Det er dem, han er her for at fortælle om.

Men egentlig bryder han sig slet ikke om at fortælle lærerne, hvad de skal gøre. Det er ”arrogant og uhøfligt”, siger han.

”Lærere er professionelle. De kender deres elever, det gør jeg ikke. Mit mål er at tilbyde redskaber til at tænke over ens undervisning – individuelt eller i fællesskab”, lyder det fra professoren.

Derfor er det centrale i hans nye bog, at han oplister fem faktorer – eller dimensioner – relateret til matematikundervisningen, man skal arbejde med, hvis man vil ”berige” den.

”Min påstand er, at hvis alt går godt i de fem dimensioner, så lærer eleverne en masse. Hvis der er problemer i nogen af dem, vil nogle elever ikke lære noget”, siger Alan Schoenfeld og pointerer selv, at han ikke er den eneste, der er kommet på den ide.

For eksempel fremhæver han danske Peter Liljedahls ’Det tænkende klasserum’ som en blandt flere skabeloner, der har samme ambition som hans egen. Og han er vild med dem alle, understreger professoren.

”Men matematikere har brugt 2.000 år på at vise, at Euklid kun havde brug for fire beviser i stedet for fem. Jeg er matematiker. Jeg vil have det lavest mulige antal af dimensioner”, siger han og tilføjer:

”Hvis jeg giver jer 28 ting at holde øje med, bliver listen ikke brugt. Hvis jeg giver jer fem og garanterer – og det gør jeg – at hvis tingene fungerer i dem alle, så bliver jeres elever kraftfulde matematiske tænkere, så bliver det en overskuelig opgave”.

Nøglen er kollegialt samarbejde

Virker de fem dimensioner (se faktaboks) meget elevcentrerede? Det er meningen, understreger Alan Schoenfeld.

På sine besøg på skoler har han ofte oplevet, at skoleledelsen evaluerer, hvad læreren gør, i stedet hvad eleverne oplever, påpeger han. Og det er en fejl.

”Sæt dig altid - også som lærer - i elevernes sted. Jeg forestiller mig gerne, at jeg er en af dem på næstbageste række. Hvad er ideen med undervisningen for den elev? Og hvad er forbindelsen med det, han eller hun allerede ved?”, siger han.

Derfor skal man som lærer heller aldrig stole på nogen, der kommer ind i klasseværelset og fortæller en, hvad man skal gøre, lyder det fra professoren. I stedet skal man lytte til sine kollegaer.

”Undervisning er svært. Det er en seriøs profession. Man lærer det langsomt og mest ved at reflektere over, hvad man gør. Helst med støtte fra kollegaer, der tager jobbet lige så seriøst som os. Få gerne kollegaer til at overvære undervisningen og give feedback på de fem dimensioner. Det er refleksion over dem, der forbedrer undervisningen”, siger han.

Forbilledet for et godt kollegialt samarbejde er de langsomme gengivelser, man kender fra sportsudsendelser, fortæller han. Når en situation opstår i undervisningen, kan man løse den på alle mulige måder.

”Vi har den luksus, at vi sammen kan tænke dem alle igennem. Hvis jeg havde gjort dette eller hint, hvad havde konsekvenserne så været – for eleverne og matematikken? Og så kan man prøve noget andet, når den samme situation opstår med de samme elever. Det handler ikke om at fælde dom over undervisningen, men om at tænke over dens konsekvenser”, siger han.

Flyt opgaven mod midten af skiven

Men hvad så med indholdet i undervisningen? Alan Schoenfeld har medbragt en masse eksempler fra et langt arbejdsliv på skolerne, og som man kan læse om i den ene af hans nye bøger.

Om hvordan man kan inddele eleverne i grupper, der skal komme op med flere løsningsforslag til opgaver. Hvordan man kan udpege én elev som talsmand, som resten af gruppen skal klæde på til at svare på spørgsmål fra læreren.

”Hvorfor bruge al den tid? Fordi matematikken er rig, hvis man giver sine elever muligheden for at grave i den”, siger han.

I den mere lavpraktiske ende har han lavet en skala, hvorpå man kan placere de opgaver, man præsenterer for eleverne. Den har form som en målskive. Jo tættere opgaven ligger på midten af skiven, jo rigere er den.

Med små greb kan man flytte selv de mest uinspirerende standardopgaver længere ind mod midten, understreger han og fremhæver det, han anser for et skræmmeeksempel:

”Et øvelsesark med minusstykker, hvor alle opgaverne handler om, at man er nødt til at låne. Det skal man så gøre tyve gange, fordi man åbenbart går mere op i at træne elevernes håndled end deres hjerne”, siger han med bidende sarkasme.

Kan man justere dem, så der skal overvejes alternative tilgange, så man kan få eleverne til at forklare deres tænkning for hinanden og derfra bygge videre på hinandens ideer? Relativt simpelt, mener Alan Schoenfeld:

”Tilføj nogle ’falske’ opgaver. Et par stykker hvor man ikke behøver at låne. Spørg, om nogen løste opgaven på en anden måde end med standardalgoritmen. Nogle vil sige, at de justerede regnestykket og for eksempel løste 44 minus 20 i stedet for 43 minus 19. Det fører ind i et interessant matematisk rum, hvor man kan diskutere, om det samme virker med 79 minus 18. Og så er vi allerede meget nærmere midten af skiven”.