I matematik i indskolingen skal der være fokus på konkrete, visuelle og enkle symbolske repræsentationer. Senere skal eleverne arbejde med sammenhængen mellem hverdagssprog og det matematiske sprog for til sidst i udskolingen at arbejde med det avancerede matematiske symbolsprog.

I fagformålet for matematik pointeres det, at undervisningen skal være dialogisk, og at eleverne gennem faget skal få redskaber, der kan hjælpe dem i kommunikationen med andre om og med matematik. Der er altså fokus på elevens forståelse og brug af sprog, refererer Aske Elgaard Christensen og Camilla Simonsen i deres professionsbachelorprojekt fra læreruddannelsen i Aalborg ved UC Nordjylland. I praktik på fjerde årgang havde de fokus på elevernes forståelse af begreberne i matematikundervisningen og på, hvordan forståelsen udviklede sig i forløbet.

Men deres interesse for elevernes brug af det talte og skrevne sprog begyndte allerede i løbet af første studieår, fortæller de. Da var de nemlig med i samarbejdsprojektet "Stilladserende matematikundervisning", som blev ledet af Lars Reidar Salomonsen, der underviste i matematik, og Winnie Østergaard, der underviste i dansk som andetsprog. Projektet sluttede med en masterclass med blandt andre John Polias og Ruth Mulvad, hvor der var fokus på de studerendes refleksioner over egen praksis og elevernes sprogbrug i arbejdet med matematik. Dér opstod deres interesse for elevernes brug af begreber - og for hvilke redskaber læreren kan benytte for at få indblik i elevens forståelse, fortæller Aske Elgaard og Camilla Simonsen.

Begrebskort og elevforståelse

Deres fælles bachelorprojekt gav de følgende problemformulering: "Hvordan kan begrebskort, med særligt fokus på repræsentationer, bruges til at få indblik i elevers begrebsforståelse?"

Selv om begreberne evaluering og feedback sjældent skilles ad, kommer de i projektet ikke ind på forskellige feedbackformer, men fokuserer udelukkende på begrebskort til evaluering af elevers begrebsforståelse, understreger de.

De er opmærksomme på, at deres syn på konteksten er baseret på de teoretikere, de har valgt, og konklusionerne bygger på vores forforståelser, så det vil være vanskelige at overføre til en anden kontekst. "Det vil derfor være svært at finde objektive og genelle sandheder. Den videnskabsteoretiske vinkel på projektet er altså vores overordnede syn på viden", skriver de.

Deres data består af to dokumenter fra praksis og et interview. "Vi benytter dokumenter som empiri til at kunne analysere elevernes begrebsforståelse og udviklingen af den. Dokumenterne er eleverne Jakob og Leas begrebskort fra en 5. klasse, og de suppleres med et interview med en elev, der forklarer sit kort", fortælle Camilla Simonsen.

Målstyret undervisning

"Forløbet blev planlagt med udgangspunkt i planlægningsmodellen, som er udarbejdet af Undervisningsministeriet til planlægning, gennemførsel og evaluering af målstyret undervisning. Den giver mulighed for at arbejde systematisk med læringsmål, så læringsmålene bliver styrende for de øvrige valg angående forløb, emner og undervisningsaktiviteter".

Læringsmålene var, at eleverne skulle kunne:

- anslå rumfanget af rummelige figurer,

- måle rumfanget af figurer med brug af konkretmaterialer gennem eksperimenterende arbejde,

- gennem eksperimenter med centicubes finde frem til regnealgoritmen l ∙ b ∙ ℎ = V for beregning af en kasses rumfang,

- anvende regnealgoritmen a ∙ ℎ = V, hvor a er arealet af grundfladen, for beregning af figurer med samme grundflade igennem hele figuren,

- beregne og udvælge enheder, som letter kommunikationen, når der tales om rumfang,

- sætte begreber fra et mindmap i relation til hinanden.

Begrebskort til evaluering

På figur 6 side 14 i projektet viser Aske Elgaard og Camilla Simonsen et eksempel på et begrebskort, hvor der fokus på relationen mellem de forskellige begreber, og det stiller krav til eleverne om, at de kan se sammenhænge. Kortet kan ikke være enten rigtigt eller forkert, men er et udtryk for elevens opfattelse af et afgrænset emne.

"Begrebskortet som evalueringsmetode kræver en grundig introduktion, og læreren kan med fordel udarbejde de første begrebskort sammen med eleverne fælles på klassen. Eleverne kan starte med at skrive begreberne på små sedler, så de kan flyttes rundt. På den måde kan eleverne arbejde med begrebernes placering på kortet, inden de tegner det på papir eller skriver det ind elektronisk", fortæller Aske Elgaard.

"Eleverne kan også brainstorme over et begreb i fællesskab, inden kortet udformes. Læreren kan udlevere en liste med begreber som inspiration, eller eleverne kan organisere begreberne i par eller grupper, inden de skriver dem ind i deres begrebskort", supplerer Camilla Simonsen.

"Fordelen ved at evaluere elevernes begrebsforståelse på denne måde er, at begrebskortene kan skabe overblik for eleverne, når begreberne relateres til hinanden og til matematikken i virkeligheden. Elevernes læring og progression bliver synlig for dem selv og for læreren. Eleverne vil også opleve, at fagområderne i matematikundervisningen hænger sammen, hvis begrebskortet bliver brugt som en gennemgående evalueringsmetode. Tidligere begrebskort vil med fordel kunne bruges til at indlede nye forløb for at understøtte denne sammenhæng. Ved at arbejde på denne måde vil eleverne opleve matematikken som en spiralforståelse i stedet for en lineær forståelse", skriver de.

Dokumenter og filmet elevinterview

"De dokumenter, vi analyserer i projekt, kommer altså fra vores egen praksis. Det kan være en fordel, da vi på forhånd har kendskab til den kontekst, vi undersøger. Det kan dog også være en begrænsning, når vi skal behandle vores data, da vi kender eleverne og har været personligt involveret i den undervisning, dokumenterne kommer fra", siger Aske Elgaard.

Interviewet med eleven var ustruktureret for at gøre det muligt at stille spørgsmål, der opstod i situation, men faren ved den ustrukturerede form er, at relationen til eleven kan have påvirke hans svar og åbenhed, fortæller de. Eleven blev filmet, så de bagefter kunne se, hvordan han brugte sit skriftlige produkt.

"Fordelen ved at filme eleven er, at han kan bruge sproget som ledsagelse til sin handling. Men omvendt kan det også begrænse ham, fordi situationen bliver mere formel, og det kan måske begrænse hans forklaringer, da han kan opfatte interviewet som en test af sin faglighed", siger Camilla Simonsen.

Deres analyse af empirien kan læses i projektet side 13 til 31 og styres af seks spørgsmål:

- Hvilke repræsentationer bruger eleverne på deres begrebskort?

- Hvordan har elevernes begrebsforståelse udviklet sig i undervisningsforløbet om rumfang?

- Hvilke repræsentationer benytter eleven i sit interview

- Hvilke læringsmål kan evalueres via begrebskort

- Hvordan påvirker læringsmiljøet brugen af begrebskort i undervisningen?

- Hvilke muligheder og begrænsninger er der ved brug af begrebskort som evalueringsværktøj?

Lea har arbejdet med relationerne mellem de forskellige begreber, så det er tydeligt, hvilke begreber der hænger sammen, og hvilken relation de har til begrebet rumfang. Hun har lavet et meget skriftligt begrebskort, hvor der kun er få visuelle repræsentationer. Hendes eksempler er hovedsageligt begrundet skriftligt og bærer præg af at være ren matematik. Kortet viser altså ikke virkelighedsnære repræsentationer, fortæller Akse Elgaard og Camilla Simonsen. Analysen af Leas arbejde kan læses side 19-20.

I modsætning til Lea har Jakob lavet et begrebskort uden relationer mellem de forskellige begreber, han har blot noteret deres relation til det overordnede begreb rumfang. Jakob bruger ligesom Lea primært skriftlige repræsentationer, men han forsøger at forklare, hvordan rumfang kan måles ved hjælp af en tegning af et måleglas og en vandhane, der fylder glasset op. Se figur 10. Her skriver han: "Når du skal bruge vandet, skal du bruge et glas. Kig vor meget der er i og find det ved at tælle vor meget vandet fylder. Her kan du se, hvad du skal bruge - og find en ting du vil måle, hvis vi siger du bruger dette og hæld det over - fyld op til toppen". Analysen af Jakobs arbejde kan læses side 20-22.

Begrebskort kan ikke evaluere alt

"Ud fra repræsentationerne på elevernes begrebskort oplevede vi, at både Jakob og Lea opererede i det sproglige multifunktionelle register. Ingen af dem opererede i det visuelle monofunktionelle register. Det kan skyldes, at emnet rumfang ikke lægger op til arbejde i det register på samme måde som eksempelvis arbejdet med diagrammer og grafer", siger Aske Elgaard og Camilla Simonsen i projektkonklusionen.

"Der var stor forskel på, hvordan eleverne arbejdede med relationerne mellem begreberne. Jakob har kun relateret de enkelte begreber til begrebet rumfang, hvorimod Lea har mange indbyrdes relationer mellem de enkelte begreber", fortæller Camilla Simonsen. "Fra gang til gang er Lea opmærksom på at sætte sine begreber i relation til hinanden, men vi kan ikke konkludere, om hun har en bedre begrebsforståelse end Jakob. Hun kan ganske vist sætte flere begreber i relation til hinanden, men vi ved ikke, om forskellen til Jakobs arbejde skyldes, at arbejdet med begrebskort er nyt for eleverne".

"I dialogen om begrebskortet, som fremgår i interviewet, har læreren mulighed for at udfordre elevens begrebsforståelse og få eleven til at uddybe relationerne mellem begreberne eller manglen heraf", skriver de.

"Eleverne kan bevæge sig i flere registre i arbejdet med begrebskortet, og dialogen kan give læreren indblik i elevernes begrebskort. Men for at få maksimalt ud af arbejdet med begrebskortene kræves det, at læreren bruger tid på at analysere dem", understreger Asger Elgaard.

"Læringsmiljøet idet flerstemmige klasserum og undersøgelseslandskabet har stort fokus på elevernes forståelse, hvorimod der i opgaveparadigmet er fokus på elevernes færdigheder. Det kan diskuteres i hvilket læringsmiljø, der er behov for at bruge begrebskortet som evalueringsværktøj. Færdighedsmål er svære at evaluere ud fra et begrebskort, da kortet evaluerer elevernes begrebsforståelse", hedder det i konklusionen.

Et begrebskort kan altså ikke bruges til at evaluere alle slags læringsmål. Der skal suppleres med andre evalueringsformer, understreger Camilla Simonsen og Aske Elgaard Christensen.

"Det flerstemmige klasserum og undersøgelseslandskaber lægger op til brugen af begrebskort i undervisningen grundet fokus på begrebsforståelsen, mens opgaveparadigmet ikke umiddelbart lægger op til det. Det kan derfor diskuteres, om det netop er her, der er behov for et indblik i elevernes begrebsforståelse", slutter de.

Se hele professionsbachelorprojektet: