Omkring hver femte elev i folkeskolen har problemer med at forstå matematik, skriver Helle Kristine Jørgensen i sit professionsbachelorprojekt fra læreruddannelsen i Aarhus ved professionshøjskolen Via. Siden 2009 har der i Fælles Mål været øget fokus på elever med matematikvanskeligheder. Der findes et stort udvalg af test- og interviewmaterialer, der kan give læreren indsigt i elevernes faglige udbytte af undervisningen, men forskning tyder på, at fordelene ved test opvejes af de negative virkninger.

Test kan medføre manglende motivation, tendens til udenadslære og svækket selvværd. Fordelen er, at de kan give læreren information om elevernes præstationer, som kan bruges til at tilrettelægge undervisningen. Udfordringen er dog, at testresultater sjældent bliver brugt i undervisningen, og at de ofte er utilstrækkelige til at danne grundlag for tilrettelæggelse af undervisning, der imødekommer elevernes vanskeligheder.

Interviewmaterialerne skåner eleverne for de negative virkninger, som test medfører, men de er ofte omstændige, tidskrævende og rettet mod enkelte elever. "Dette kan give et misvisende billede af, at det er eleven, der er noget galt med. Men da forskning peger på, at op mod 90 procent af matematikvanskeligheder hos elever hænger sammen med undervisningen, må man søge at imødekomme vanskeligheder i et bredere perspektiv", skriver hun. 

I projektet undersøger Helle Jørgensen, hvad det er i undervisningen, der ler grund til, at elever får vanskeligheder, og hvordan læreren kan kortlægge og imødekomme dem som en del af den daglige undervisning - uden brug af test. Hun har undersøgt, hvilke tanker der ligger bag kortlægningsmaterialer, især diagnostiske test, og hvordan de samme tanker kan bruges i undervisningen. En diagnostisk test er en skriftlig matematiktest. Den adskiller den fra andre test ved overvejelserne bag opgaverne, som bygger på, at eleverne ikke kan løse opgaven korrekt, hvis de misopfatter  de involverede begreber. Formålet med testen er at identificere misopfattelser og delvise begreber inden for et specifikt problemfelt med henblik på tilrettelæggelse af den videre undervisning.

I problemformuleringen til sit projekt spørger Helle Jørgensen: "Hvilke muligheder og begrænsninger kan der være ved at implementere diagnostisk matematikundervisning i folkeskolen? Hvordan kan man implementere diagnostisk matematikundervisning i folkeskolen?"

Hvad vil det sige at kunne matematik? 

Før man kan arbejde med elevers vanskeligheder i matematik, må man gøre sig klart, hvad det vil sige at kunne matematik. Hvad vil det sige ikke at kunne matematik?

Helle Jørgensen tager udgangspunkt i Gard Brekkers begreber:

-       Faktakundskab dækker over informationer og definitioner, som er nyttigt at lære, men som ikke følger af noget andet. 

-       Færdigheder er veletablerede procedurer i flere trin. Procedurer er defineret som en fastlagt måde at gøre noget på, ofte ved hjælp af formelle regler. En færdighed kunne f.eks. være at have en veletableret procedure for at gange eller dividere tocifrede tal. Færdigheder vil oftest også opstå som figurativ viden, da det tit handler om en metode, som eleven ikke selv har erfaret,

-       Begrebsstrukturer dækker over kendskab til matematiske begreber og deres netværk. En elev, som har en udviklet begrebsstruktur, vil ofte føle matematikken mere meningsfuld, fordi begreber ikke opleves som isolerede områder af matematikken. 

-       Strategier er defineret ved evnen til at vælge hvilke færdigheder, der skal bruges, for at løse et bestemt matematisk problem. Strategier vil i modsætning til færdigheder ofte være udformet af elevens egne erfaringer. 

Brekker bruger også begrebet kognitiv konflikt. Når elever oplever en kognitiv konflikt, opdager de, at deres tankemønster ikke længere er tilstrækkeligt og derfor må ændres. 

Misopfattelser og delvise begreber

Misopfattelser og delvise begreber er ikke i sig selv matematikvanskeligheder, men det kan være starten til vanskeligheder, hvis der ikke arbjdedes med problemerne i tide. Delvise begreber opstår, når en elev endnu ikke har udviklet et solidt matematisk begreb og tilhørende begrebsstrukturer, skriver Heller Jørgensen. Misopfattelser er systematiske "fejl", som er næsten umulige at undgå. De bygger på en konsekvent tænkning hos eleven. Misopfattelser sker ofte, fordi elever overgeneraliserer fra et begreb til et andet i et forsøg på at skabe mening ud fra tidligere erfaringer. Forskning antyder at 70-80 procent af de fejl, elever begår, skyldes misopfattelser.

I sit projekt har Helle Jørgensen fokus på at imødekomme de elever, hvis vanskeligheder kan hjælpes med didaktiske tiltag. "Da elevernes vanskeligheder ikke nødvendigvis hænger sammen med undervisningen, vil det ikke altid være tilstrækkeligt at arbejde med didaktiske tiltag. Det er derfor vigtigt at pointere, at denne opgaves tiltag bør suppleres af en kortlægning af, hvorfor vanskelighederne i matematik er opstået", skriver hun.

Brøker, procenter og decimaltal

Helle Jørgensen undersøgertre læremidlers behandling af brøker, procent og decimaltal: Format 4, Format 5 og Kontext+6. Emnet er valgt fordi, der opstår mange misopfattelser, når man udvider et begreb i matematik, som man gør, når man går fra hele tal til brøker, procent og decimaltal. 

Læremidlerne består overvejende af opgaver, som ikke er hensigtsmæssige i en diagnostisk diskurs, skriver Helle Jørgensen. "Opgaverne har effektivitet i fokus, da langt de fleste opgaver kun sætter krav til et indiskutabelt facit; en stor del af opgaverne kan løses med en procedure, som ofte er synliggjort i læremidlet; en mindre del af opgaverne er klassificeret som diagnostiske i det omfang, at de fortæller, at eleven har misopfattelser eller delvise begreber, men kun i mindre omfang fortæller noget om, hvad misopfattelserne og de delvise begreber bygger på, da opgaveløsningerne ikke er synlige i størstedelen af opgaverne", skriver hun.

Under halvdelen af læremidlernes opgaver bruges til at fortælle noget om elevernes begrebsforståelse. "Dette bygger på en opfattelse af, at hvis bare eleverne øver sig nok på en færdighed, vil forståelse komme efterfølgende", mener hun. 

Er brøker ikke mindre end procenter

Et af formålene med den diagnostiske undervisning er, at eleverne skal skabe deres egne erkendelser i mødet med kognitive konflikter. Det står i modsætning til læremidlerne, der tilrettelægger en procedure fremfor at lade eleverne erfare dem selv.

Helle Jørgensen bygger sit projekt på observationer fra undervisning på en skole i Østjylland med tre elever i 6. klasse, som har vanskeligheder i matematik. Eleverne kalder hun C, J og S.

Da vi ikke havde kendskab til eleverne på forhånd, var det afgørende først og fremmest at få indblik i, hvor de der havde vanskeligheder med matematik var. Opgaven, som vi skrev i forbindelse med den gennemførte undervisning, havde ét krav: Vi måtte ikke teste eleverne. Derfor ønskede vi at udforme en undervisning, som tog udgangspunkt i et testmateriale - diagnostiske test -, uden at sætte eleverne i en testsituation, forklarer hun.

I undervisningen skulle eleverne lægge tal i rækkefølge efter mængde. Tallene bestod af procent, decimaltal og brøker, og tallene blev løbende ændret i forløbet på baggrund af elevernes misopfattelser.

Tallene, som eleverne skulle lægge i rækkefølge i den første undervisningsgang, var: 

100%, 4/4, 90%, 0,75, 2/3, 0,55, ½, 30/60, 0,5%, 0,35, 30%, 0,25, 25%, 20%, ¼ og 1/3. 

"Et eksempel på hvordan den første aktivitet bliver diagnostisk, er brøken 30/60. Mange kan hurtigt gennemskue, at ½ er en halv, fordi det er en brøk, man ofte møder. En af de gængse misopfattelser inden for brøker er, at hvert tal repræsenteres af én brøk. 30/60 er altså med, fordi vi ønskede at undersøge, om eleverne forstod brøken som 1 ud af 2 (1 udgør halvdelen af 2, 1 divideret med 2 etc.) eller blot huskede på at ½ var en halv, fordi de kunne genkende repræsentationen. Et andet eksempel er tallene 0,5 og 0,5 %. Elever, der har svært ved at mængdebestemme, vil have svært ved at afgøre, hvilket tal, der er størst", skriver Helle Jørgensen.

De tre elever fik bunken med kort, som de i fællesskab skulle lægge i rækkefølge uden indblanding fra læreren. C siger: "Er brøker ikke mindre end procenter?". Denne udtalelse bygger på en misopfattelse, som kan være opstået i en overgeneralisering fra naturlige tal til irrationelle tal, da selve tallene (tæller og nævner) ofte er lavere end selve tallet i procent. Derfor kan brøken 30/60 skabe en kognitiv konflikt hos eleven. Desuden viser denne udtalelse også en udfordring i elevens begrebsstukturer, da sammenhængen og omregningen mellem brøker og procent er ikke eksisterende for eleven.

J siger: "1 må da være den mindste", hvortil S svarer: "Nej, 1 er da en hel". Når J antager af 1 må være det mindste tal, så kan det være en overgeneralisering, som er meget typisk hos elever med vanskeligheder ved mængdebegrebet, fordi talfølger ofte starter med 1-2-3 osv. 

"Den diagnostiske undervisning, vi afprøvede på eleverne, var ikke kun anderledes i kraft af indholdet; også tilgangen til opgaverne var anderledes. Den diagnostiske tilgang adskiller sig fra klassens 'normale' matematikundervisning ved at have kommunikation i fokus frem for skriftlighed og ved at fokusere på få repræsentative opgaver frem for at træne mange opgaver inden for et emne", skriver Helle Jørgensen.

Concept Cartoon og My Favorite No

I projektet præsenterer hun et didaktisk planlægningsværktøj til diagnostisk undervisning i tre faser. Hun giver desuden et eksempel på, hvordan en diagnostisk undervisning indenfor emnet brøker kan se ud.

Første fase handler om at skabe kognitiv konflikt ved at fremhæve misopfattelser og delvise begreber gennem brug af diagnostiske opgaver. 

1. Gøre sig klart, hvilket problemfelt inden for det aktuelle begreb de diagnostiske opgaver skal give indblik i.

2. Overveje, hvilke misopfattelser og delvise begreber eleverne kan have indenfor det specifikke problemfelt, og hvordan disse kan komme til udtryk.

3. Opstille en opgave/aktivitet, hvor man ud fra elevernes svar kan afgøre, om eleverne har misopfattelser og delvise begreber indenfor dette specifikke problemfelt af begrebet.

Til begrebet brøker kunne en misopfattelse for eksempel være, at jo større tal i tæller og nævner, jo større er brøken. Denne misopfattelse kan være afledt af en overgeneralisering fra naturlige tal, hvor for eksempel 4 er større end 2, så det kan virke ulogisk at ¼ er mindre end ½.

Den anden fase handler om at løse kognitiv konflikt ved at skabe diskussioner og refleksioner i undervisningen om misopfattelser og delvise begreber.

Helle Jørgensen viser en række forskellige metoder, som er gode til at skabe diskussioner og refleksioner om de nødvendige kognitive konflikter:

- 'Concept cartoons', som er forskellige udsagn til et specifikt matematisk problemfelt, hvor eleverne skal tage stilling til hvilke udsagn, der er rigtige og forkerte.

- 'My favorite no', som er udvalgte opgaver (enten autentiske eller lærerudformet), der viser en forkert besvarelse/forståelse, hvor eleverne skal forklare, hvad fejlen er, og hvorfor den kan være opstået.

- 'Overbevis os', som går ud på, at eleverne får uddelegeret et udsagn, som enten er rigtig eller forkert og derefter skal overbevise de øvrige elever om, hvorvidt udsagnet er rigtig eller forkert. Et eksempel kunne være udsagnet "1/2 er mindre end 2/4".

Tredje fase handler om at bruge det udvidede begreb i andre sammenhænge. Eleverne skal opnå erfaringer med deres. nye erkendelser fra fase 2. De kan for eksempel vende tilbage til opgaverne i fase 1 og se, om deres erfaringer fra fase 2 gør dem i stand til at løse opgaven eller evt. ændre på deres besvarelse.

Sammenlignet med traditionel matematikundervisning og eksisterende kortlægningsmaterialer, giver den diagnostiske undervisning især muligheder i forhold til øget læringspotentiale og sociale processer. Eleverne konstruerer viden, der bygger på begrebsforståelse og -strukturer. Formålet med at skabe og løse kognitive konflikter er at bidrage til elevernes erkendelser, som kan skabe gode forudsætninger for langtidslæring. Den diagnostiske tilgang giver også mulighed for at praktisere inklusionsprincippet gennem øget brug af gruppearbejde, hvor eleverne er indbyrdes afhængige af hinanden og træner kommunikationskompetencen, skriver Helle Jørgensen.

Udfordringerne ved den diagnostiske tilgang findes i det faglige fokus og de matematiske diskurser. I forhold til det faglige fokus, så er den diagnostiske undervisning ikke hensigtsmæssig til læring af faktakundskab og færdigheder. De største begrænsninger opstår i de elevstyrede aktiviteter, der bl.a. kan bidrage til uro, utryghed blandt især udfordrede elever og sætte store krav til lærerens rolle. 

Det behøver ikke at være en revolutionerende ændring af den eksisterende undervisning at implementere diagnostisk undervisning, skriver Helle Kristine Jørgensen i konklusionen på sit professionsbachelorprojekt. "Mit håb er blot, at opmærksomheden på den diagnostiske undervisning kan skubbe til den dominerende diskurs indenfor den matematiske praksis og åbne for diskussionen om alternative strategier til at kortlægge og imødekomme matematikvanskeligheder".

DET FANDT JEG UD AF, DET KAN VI BRUGE

(tilføjet den 6.01.2021.)

Helle Jørgensen modtog andenprisen for professionsbachelorprojekt. Efter prismodtagelsen, som på grund af corona-pandemien i 2020 foregik over Zoom, skrev hun denne beretning om, hvad hun fandt ud af, og hvad, hun mener, det kan bruges til i skolen:

"Jeg håber, at mit bachelorprojekt kan give andre modet til at skubbe til skolens dominerende matematikdiskurs og åbne for diskussioner om alternative strategier til at støtte elever med matematikvanskeligheder.

Misopfattelser. Vi har allesammen stødt på dem, mens vi lærer matematik. I et forsøg på at skabe mening i det nye generaliserer vi ubevidst mellem, det vi ved, og det vi skal lære. Måske har vi troet, at brøken ¼ var større end ½, netop fordi vi tidligere har lært, at 4 er større end 2. Eller måske har vi, ligesom en af eleverne i mine observationer, troet, at brøker er mindre end procenter, fordi vi ikke har indset, at det er to sider af samme sag.

Nødvendige misopfattelser?

Misopfattelser er uundgåelige og vel nærmest nødvendige for at lære. Men misopfattelser kan kun føre til forståelse, hvis de bliver opdaget og imødekommet. En norsk undersøgelse tegner et billede af, at op imod 90 procent af alle fejl, som elever begår    i matematik, skyldes misopfattelser. Hvis de ikke opdages og imødekommes, er der stor risiko for, at de bliver så fasttømrede, at de kan blokere for videre læring.

Da forskningen peger på, at næsten hver femte elev har vanskeligheder i matematik, og at langt de fleste af de fejl, eleverne begår, skyldes misopfattelser, drog jeg den slutning, at vejen til at hjælpe flere elever ud af matematikvanskeligheder måtte begynde ved deres misopfattelser.

Det gav mig lysten til at undersøge, hvordan man kan opdage og gøre noget ved elevers misopfattelser i matematik, så de undgår, at elever får vanskeligheder i faget. I min søgen stødte jeg på diagnostiske tests, som benyttes meget i Sverige og Norge. Testmaterialet består af opgaver, som ikke kan løses korrekt, hvis eleven har en misopfattelse indenfor det specifikke område. For at kunne besvare en diagnostisk opgave korrekt, kræver det forståelse af de involverede matematiske begreber. Det er altså ikke nok at tillære sig en tom procedure eller at huske en bestemt metode.

I mine undersøgelser af de diagnostiske opgavers muligheder, blev det hurtigt tydeligt, hvordan nogle elever kunne løse "ikke-diagnostiske opgaver" fejlfrit - og alligevel lave fejl i "de diagnostiske opgaver" inden for det samme emne!

Hvis jeg ikke havde brugt de diagnostiske opgaver, havde jeg med stor sandsynlighed fejlagtigt antaget, at eleverne ikke havde vanskeligheder. Jeg undrede mig derfor over, hvorfor man ikke arbejder mere diagnostisk i matematikundervisningen i Danmark.

Efter min analyse konkluderede jeg, at der kan være udfordringer ved bruge den ret så omstændige og tidskrævende test, og at den diskurs, der dominerer i matematikfaget herhjemme, er svær at forene med diagnostisk undervisning. Derfor var mit formål med bachelorprojektet at udvide og ændre testmaterialet, så det kan benyttes direkte i den daglige undervisning - uden at bruge test.

Den diagnostiske undervisning, jeg har videreudviklet fra tankerne bag testmaterialet, indebærer blandt andet mere gruppearbejde og mange flere diskussioner i matematiktimerne. I mit projekt ender jeg med en tre-fase-inddelt metode, som skal støtte andre lærere, der måtte være interesseret i at afprøve en diagnostisk tilgang, og det behøver hverken at være en revolutionerende ændring af den eksisterende undervisning eller en ekstra forberedelsesbyrde.

En vis ærefrygt

Jeg er meget stolt over, at Lærerprofession.dk's priskomite har vurderet mit projekt som prisværdigt. Som studerende har man som regel kun begrænsede praksiserfaringer som lærer, så det er med en vis ærefrygt, jeg får offentliggjort mit bachelorprojekt med henblik på at inspirere mere erfarne lærere.

Jeg håber, at det kan skabe øget opmærksomhed på den diagnostiske undervisnings muligheder, og jeg håber i lige så høj grad, at mit projekt kan give andre modet til at skubbe til den dominerende matematikdiskurs og åbne for diskussionen om alternative strategier til at støtte elever med matematikvanskeligheder".

Læs hele projektet og de øvrige prismodtageres beretninger via linkene nedenfor: