"Da jeg var barn havde vi blækregning, det burde man virkelig vende tilbage til. I dag skal eleverne kunne alt for meget. Det vigtige er jo, at de kan regnereglerne, så lad os lade være med at nedbryde deres selvtillid med noget, som de overhovedet ikke skal bruge".

Sådan sagde den pensionerede lærer og efterskoleforstander til Vikki Weigelt Pedersen, da han hørte, at hendes hovedfag er matematik, fortæller hun i sit professionsbachelorprojekt fra læreruddannelsen i Silkeborg ved Via University College.

"Jeg kiggede forbavset på ham, begyndte tøvende at argumentere imod. Det er ikke første gang, jeg møder den holdning", fortæller hun.

Den pensionerede lærer mener som mange andre, at matematik i folkeskolen udelukkende har sin eksistensberettigelse som brugsfag i forbindelse med simpel matematik i det daglige liv. Men matematik er et dannelsesfag, mener Vikki Weigelt.

"For at være dannet skal man ifølge Wolfgang Klafki kunne forholde sig til de epokale nøgleproblemer, som er at finde i verden og samfundet. Mange af disse kan først gøres gennemsigtige, hvis man bearbejder dataene omkring disse nøgleproblemer ved hjælp af matematisk modellering. Jeg står som kommende matematiklærer derfor i stærk opposition til holdningen om, at matematik blot bør udgøre en håndsrækning i de daglige gøremål", skriver hun. 

Klafki og skolevirkeligheden

Men hvordan skabes en dannende matematikundervisning, spørger hun. Og det kan Klafki ikke hjælpe med at svare på. Klafki stiller mange og høje krav til skolens opgave, men hans teori tager et udgangspunkt langt over det niveau, hvor mange lærere bruger størstedelen af deres tid.  

I arbejde med Klafki er Vikki Weigelt blevet meget fascineret af hans teorier, men hun er også blevet provokeret over, at teorierne forholder sig så lidt til den virkelighed, hun møder i skolen. "En virkelighed, hvor man som enelærer står med 30 elever, hvoraf halvdelen ofte spørger om hjælp, og den anden halvdel ikke selvstændigt tager initiativ til at går i gang. En realitet, hvor jeg har mødt elever, for hvem det ingen overvindelse kræver at skifte emne fra opgavens substans til sex, mobilspil eller sladder. En realitet hvor undervisningen i en 8. klasse i sværhedsgrad skal spænde fra 6. klasses niveau til 1.g niveau, hvis alle skal blive udfordret".

Som lærer havner man ofte i en situation, hvor det primære er at få undervisningen til at glide, og hvor man glemmer formålet og dannelsesperspektivet, siger Vikki Weigelt. "Men bedst som man kan føle sig helt modløs over den barske virkelighed og den manglende håndsrækning fra teorierne, kan man søge hjælp hos de mange fagdidaktikere. Deres teorier tager udgangspunkt i klassesituationer og kan fungere som en direkte håndsrækning i såvel planlægning som udførelse. Og de gør det uden at give køb på idealerne! Med dem at spille bold op ad bliver Klafki pludselig en brugbar og interessant samtalepartner", siger hun.

I bachelorprojektets problemformulering spørger Vikki Weigelt, hvordan man i en 8. klasse kan skabe en dannende matematikundervisning med fokus på modelleringskompetence.

I arbejdet koncentrerer hun sig om fire undersøgelsesområder:

I hvilket omfang og hvordan kan matematikfaget siges at være dannende ud fra fagformålet for faget matematik?

Hvordan kan modelleringskompetencen og IC-modellen bidrage til en dannende matematikundervisning?

Hvordan kan man arbejde med udgangspunkt i modelleringskompetencen, så elever med forskellige faglige niveauer og elever med modstand til undervisningen får mulighed for at indgå i en dannelsesproces?

Hvordan står Klafkis dannelsessyn i kontrast til nutidens diskurs om målstyret undervisning?

Fagformålet for faget matematik blive analyseret på baggrund af Klafkis begreber om almen dannelse og dannelse. Men fagets formål hjælper ikke til at afdække den del af problemformuleringen, der handler om, hvordan undervisningen skal foregå, derfor bruger Vikki Weigelt en række cases fra 4.-årspraktikken, hvor hun underviste en 8.klasse på en skole i Skanderborg.

Selvbestemmelse, medbestemmelse og solidaritet

Wolfgang Klafki taler om seks principper, som er essentielle for en kritisk pædagogik, og et af dem handler om dannelse. "Inspireret af Kants tanke om at mennesket skal træde ud af dets selvforskyldte umyndighed, tænkes dannelse som kohærensen mellem tre grundbegreber: selvbestemmelse, medbestemmelse og solidaritet. Det er interessant at bemærke, at alle tre grundbegreber refererer til andet og mere end blot viden og kunnen. De refererer til initiativ, og der er dermed tale om grundlæggende karaktertræk, der skal opbygges hos det enkelte menneske. Igen kan man se på Kant som inspirationskilde til grundbegreberne og hans tanker om den selvforskyldte umyndighed. Med umyndigheden mener Kant, at man ikke gør brug af sin egen forstand og derfor lader sig lede af andre. Med selvforskyldt mener Kant, at man ikke er umyndig på grund af manglende evner, men derimod på grund af manglende mod og initiativ til at træde ud af umyndigheden. Det er med det perspektiv, Klafkis begreber selvbestemmelse, medbestemmelse og solidaritet er blevet skabt", skriver hun.

Selvbestemmelse handler om evnen til at kunne tage vare på sit eget liv i forhold dagligdagen, men også om at kunne forholde sig til religiøse og etiske spørgsmål. Medbestemmelse handler om handlingskompetence i forhold til kulturelle, samfundsmæssige og politiske forhold. Solidaritet handler om at yde en indsats for og være sluttet sammen med mennesker, der kun i begrænset omfang har mulighed for at beskæftige sig med de to grundbegreber: selvbestemmelse og medbestemmelse.

Matematikfagets formål

I formålet for faget matematik i folkeskolen fremgår det af stykke 1, at undervisningen skal give eleverne viden og kompetencer til at kunne "begå sig hensigtsmæssigt i matematikrelaterede situationer i deres aktuelle og fremtidige daglig-, fritids-, uddannelses-, arbejds-, og samfundsliv". "Med ordene dagligliv, arbejdsliv og uddannelsesliv arbejdes der med selvbestemmelse. Ifølge Klafkis definition på selvbestemmelse skal eleverne kunne forholde sig til dagligdagsproblematikker og erhvervslivet, men de skal også kunne forholde sig til religiøse og etiske spørgsmål. Som matematikkens funktion er beskrevet i stykke 1, er det den første del, matematikken skal varetage. Den del, der handler om religiøse og etiske spørgsmål, er ikke tænkt med som en del af formålet for faget matematik", siger Vikki Weigelt og viser med en case fra sin 8.klasse, hvordan arbejdet med matematik kan bidrage til, at eleverne reflekterer over deres selvbestemmelse:

Vikki Weigelt: "Nu skal I til at lave et budget. Hvad skal med, hvis man skal lave et budget?

Kimmie: "Mad, husleje, tøj… Er der ikke også noget med el, vand og varme?"

Vikki: "Jo. Og pension og forsikringer osv".

Klara: "Jeg skal aldrig flytte hjemmefra!"

"At dømme ud fra reaktionen, 'Jeg skal aldrig flytte hjemmefra', placering i samtalen, kunne det være oplagt at opfatte udtalelsen som en reaktion på de mange udgifter. Klara er blevet bevidst om, hvor omkostningsfuldt det er at flytte hjemmefra og siger derfor (måske i sjov), at det vil hun ikke. Det videre arbejde med at lægge et budget vil i dette tilfælde forhåbentlig kunne berolige hende og give hende forudsætninger for at kunne være forberedt på det dagligliv, der måtte vente hende, hvis hun alligevel skulle vælge at flytte hjemmefra", siger Vikki Weigelt.

Medbestemmelse betyder handlekompetence

I faget formål nævnes det også, at matematikken skal kunne give eleverne redskaber til at begå sige hensigtsmæssigt i samfundsrelaterede situationer, og her omtales begrebet medbestemmelse. Det definerer Klafki som handlekompetence indenfor kulturelle, samfundsmæssige og politiske forhold. Den del af medbestemmelsen, der handler om samfundsliv, er altså tænkt ind i fagformålets stykke 1, og i stykke 3 står der, at eleverne skal opleve og erkende matematikkens rolle i en kulturel sammenhæng, og at eleverne kan være vurderende over for matematikkens anvendelse i deres virke som medborgere i et demokratisk samfund. "Hermed udbygges den resterende del af grundbegrebet medbestemmelse. Formålet for matematik understreger dermed et ønske om, at eleverne skal opøve såvel selvbestemmelse som medbestemmelse", siger Vikki Weigelt.

Statistik om indkomstniveauer

Hendes forløb med 8.-klassen var bygget op om en statistik om indkomstniveauet for forskellige indkomstgrupper fordelt på køn og senest færdiggjorte uddannelse. Derudover fremgik det af statistikken, hvor meget indkomsten for de forskellige grupper havde forandret sig fra år 2000 til år 2013. "I arbejdet med statistikken kom eleverne ind på den del af medbestemmelsesbegrebet som indbefattede samfundsforhold, og på samme måde vil man kunne lave et forløb, der har kulturelle eller politiske forhold som omdrejningspunkt", siger hun.

Der er ikke elementer i fagformålet, der handler om grundbegrebet solidaritet. "At eleverne skal ende med at yde en indsats og danne sammenslutning med mennesker, hvis selvbestemmelse og medbestemmelse er begrænset, er i høj grad et holdningsorienteret mål, som derfor er vanskeligt direkte at gå ind og varetage i undervisningen", siger Vikki Weigelt.

De epokale nøgleproblemer

Der er tre elementer, der er væsentlige, for at kunne tale om almen dannelse, siger Klafki: 1: dannelse for alle. 2: dannelse inden for alle grundlæggende menneskelige interesser og evner. 3: dannelse inden for de epokale nøgleproblemer og medansvar for dem.

"De epokale nøgleproblemer skal forstås som de problemstillinger, der i vores tid er et fællesmenneskeligt vedkommende. Herunder hører blandt andet spørgsmål angående krig og fred, miljøproblematikker og samfundsskabt ulighed", skriver Vikki Weigelt og fortæller, at det sidste udgjorde fundamentet for hendes forløb i klassen.

Ud over kendskab til de enkelte nøgleproblemer skal man, for at kunne beskæftige sig med disse, have fire grundlæggende holdninger og evner, siger hun:

• Beredvillighed og evne til kritik,
• Beredvillighed og evne til at tænke i sammenhænge,
• Beredvillighed og evne til argumentation,
• Empati.

 

Vikki Weigelt understreger, at Klafki ikke blot fremhæver evner, som er nødvendige for at kunne forholde sig til nøgleproblemerne, han fremhæver også holdninger. "Det er både evne og beredvillighed, som ønskes indenfor de forskellige områder, så hvis formålsparagraffen fuldt ud skal tilgodese disse punkter, skal den bidrage til såvel evne som beredvillighed". (Se side 10-11 i projektet).

Morten Blomhøj inddeler matematikopgaver i seks kategorier, viser hun:

Opgaveparadigmet Undersøgelseslandskaber Reference til "ren" matematik            1             2 Reference til "semi"-virkelighed            3             4 Reelle referencer            5             6

I opgaveparadigmet er det konkrete spørgsmål og den konkrete opgave stillet af læreren, og i undersøgelseslandskaber får eleven en invitation til selv at udforske et emne ved hjælp af matematik.  "Ren" matematik" vil sige, at matematikken er et redskab til at forholde sig til sig selv. "Semi-virkelighed" handler om, at man opstiller en kunstig situation, som skal forestille at have hold i ægte aktører og ægte problemer som skal bearbejdes med matematikken. "Reelle referencer" vil sige, at opgavernes problemfelt er hentet blandt virkelige situationer - ofte også situationer fra elevernes eget liv.

I analysen af fagformålet, er det tydeligt, at det ikke er nok at have opgaver i kategori 1og 3, eftersom de ikke vil udvikle elevernes selvbestemmelse og medbestemmelse eller beredvillighed og evne til kritik, evne til at tænke i sammenhænge eller muligheden for at se matematikkens argumentationspotentiale, siger Vikki Weigelt.

"Det er altså ikke tilstrækkeligt, at eleverne oplever, at vi som lærere har sat matematikken ind i en kontekst. De skal også selv kunne opleve og identificere situationer, hvor matematik kan være et behjælpeligt redskab eller en nødvendighed for at forstå, hvad der er på spil. Men ikke desto mindre er det uden tvivl nemmest for læreren dels at opstille opgaver og dels at hjælpe med opgaver, som tilhører kategori 1 eller 3, og man kan som matematiklærer nemt havne i en rytme, hvor man ikke kommer ud af sin egen bekvemmelighedszone og derfor nøjes med at stille opgaver inden for kategori 1 og 3. Som lærer bliver man derfor nødt til at have et konstant øje for formålet med opgaven", skriver hun.

Er redskab til at vurdere arbejdet i forhold til formålet

Ole Skovsmose foreslår, at man bruger figuren som et didaktisk redskab. Når man har planlagt et undervisningsforløb, kan man placere de forskellige aktiviteter i de seks kategorier for at illustrere fordelingen. "Hvis der er en overvægt blandt kategori 1, 2, og 3, kan man næppe forestille sig at formålet for matematikundervisningen bliver varetaget. Hvis indholdet forholder sig til de epoketypiske nøgleproblemer, og man bevæger sig i kategorierne 4, 5 og 6, varetager man formålet for faget matematik og skaber ydermere, hvad Klafki ville kalde eksemplarisk undervisning, hvor eleverne selv arbejder sig frem mod mere eller mindre generaliserbare principper, som kan gøres til deres erfaringsområde og dermed øge elevens selvstændighed".

Modelleringskompetencen er et redskab, der kan bruges til at gøre matematikken til et dannelsesfag, hvor der arbejdes i kategori 4, 5 og 6, siger Vikki Weigelt og viser den definition på matematiske modeller, hun brugte, da hun planlagde forløbet til 8.klassen: "Man har at gøre med matematiske modeller i alle de tilfælde, hvor matematik bringes i anvendelse for at analysere eller beskrive en situation eller et problem fra omverdenen. Det har man også, når faget bruges til at forudsige eller foreskrive, hvordan en given situation kan udvikle sig, eller et bestemt problem kan håndteres". Morten Blomhøj og Mikael Skånstrøm tilføjer til definitionen, at "kun hvis man kan fastholde en synsvinkel, hvor man kan se både matematikken og virkeligheden, kan man erkende, kritisere eller bevidst opstille en matematisk model".

De to beskrivelser fremstiller modelleringskompetencen som utrolig brugbar, men også som en kompetence med et højt kompleksitetsniveau. Eleverne skal på samme tid være i stand til at have øje for virkeligheden og matematikken, og det gør modelleringskompetencen både vanskelig og brugbar, siger Vikki Weigelt og nævner Blomhøjs fire grunde til at arbejde med modellering:

• For det første bliver "hvad skal vi bruge det til"-spørgsmålet besvaret, når modelleringskompetencen kommer i spil, og arbejdet med modelleringskompetencen er dermed inde og røre ved elevernes motivation.
• For det andet fremgår modelleringskompetencen som et selvstændigt mål i Fælles Mål. Blomhøj henviser her til de gamle fælles mål, men det har ikke ændret sig med Forenklede Fælles Mål.
• For det tredje giver arbejdet med modelleringskompetencen indsigt i, hvordan matematikken bruges i dagligliv, samfundsliv og andre fagområder.
• For det fjerde fremmer modelleringskompetencen en kritisk dømmekraft overfor skabelse og benyttelse af modeller.

"Når Blomhøj argumenterer for, at modelleringskompetencen giver mulighed for at bruge matematikken i dagligliv, samfundsliv og andre fagområder, bliver modellering netop en forudsætning for, at eleverne kan opbygge selvbestemmelse og medbestemmelse.

Ligeledes får evnen til at tænke i sammenhænge sin aktualitet i begrundelse 3, og af begrundelse 4 fremgår det at kritisk dømmekraft er nødvendigt i arbejdet med modelleringskompetencen, og dermed er arbejdet med modelleringskompetencen også inde og påvirke Klafkis grundbegreb: beredvillighed og evne til kritik", skriver hun.

Olivers forsøg på kontakt bliver ikke hørt

Eleverne arbejder individuelt med statistikopgaver. De sidder rundt om på skolen i grupper. Jeg når hen til denne gruppe efter cirka 15 minutter, fortæller Vikki Weigelt.

Oliver: "Jeg havde lavet den første, men den var bare forkert".

Vikki: "Den var i hvert fald ikke helt præcis".

Peter: "Der er også noget med en ændring fra 2000 til 2013".

Søren: "Det er indkomst fordelt over køn på forskellige år, og hvor høj uddannelse man har".

Vikki: "Ja, lige præcis. Hvad med dig Bo?"

Bo: "Det samme som Søren".

Vikki: "Hvad med dig Brian. Har du lavet det?"

Brian: "Nej".

Vikki: "Er der noget, I bemærker?"

Oliver: "Orv, ja! der er ikke nogle hele tal".

Vikki: "Det hele bliver ganget med 1000, fordi det er en årsindkomst. Er der noget bestemt, I bemærker?"

Peter: "At mænd tjener mere end kvinder".

Brian: "Så giver det nok ikke så meget at stå på flisen længere".

Peter: "I 2000 var lønnen højere for mænd med grundskoleuddannelse. Nu er den faldet med 24000 kroner".

Vikki: "Ja, du er interesseret i udviklingen. I den forbindelse er det jo interessant at se på det, du siger om mænd og kvinder. Ser vi på udviklingen, er differensen mellem mænd og kvinder dalet. Skulle man lave en prognose, kunne det være, at der blev udlignet".  

Efter at Vikki Weigelt har hjulpet eleverne videre, forlader hun dem og kommer tilbage efter ti minutter.

Oliver har han tidligere vist sig at være udfordret på nogle punkter i matematikundervisningen. "Især har jeg oplevet, at han til tider har haft problemer med at forstå, hvad opgaven gik ud på. Oliver mangler det, som Klafki kalder instrumentelle færdigheder, hvormed der menes basale, faglige færdigheder, som er nødvendige. Disse færdigheder er det nødvendigt at opbygge, hvis man vil arbejde med dannelse, men Klafki mener ikke, at man bør arbejde isoleret med disse færdigheder. I stedet bør man opbygge dem i forbindelse med et dannelsesorienteret arbejde", skriver Vikki Weigelt.   

"Oliver er den første, der byder ind i casen. Dette gør han ved at pointere sin egen fejl. Her kunne der muligvis være blevet skabt rum for en samtale på baggrund af punkterne kontakt, reformulere og tænke højt i IC-modellen. Det blev der dog ikke skabt, da jeg udelukkende får fokuseret på, hvor fejlen ligger, og ikke giver eleven spørgsmål til videre refleksion, som kunne være katalysator for en matematisk samtale. I stedet vælger jeg at fokusere på, hvad de andre har svaret til opgaven. Dermed bliver en matematisk samtale på baggrund af IC-modellen ikke indledt", siger hun.

Oliver kommer igen, da Vikki Weigelt spørger, om eleverne har bemærket noget bestemt i statistikken, og han bemærker, at ingen af tallene er hele tal. "Igen bliver der ikke skabt kontakt med Oliver, idet jeg blot forklarer ham årsagen og stiller det samme spørgsmål til de andre. Det kan skyldes en forudindtaget forventning om, hvad jeg tænker, at eleverne bør svare. Olivers svar underbygger ikke min forventning, og det kan være årsagen til, at elevens refleksion bliver overhørt", siger hun.

Men Oliver byder ind med noget matematikrelateret hele to gange, så det kunne tyde på, at han faktisk er meget interesseret i at skabe kontakt i forbindelse med opgaven, vurderer hun. "Jeg nøjes med kort at forklare ham, hvor det går galt. Havde jeg derimod valgt at stille videre spørgsmål til ham, havde det åbnet muligheden for en matematisk kommunikation. Jeg kunne eventuelt have stillet spørgsmål, der kunne lede frem til, at han selv kunne have fundet ud af, hvorfor der ikke var nogle hele tal", siger hun.

Peter viser ægte interesse

Peter kommer første gang på banen, da han giver sit bud på, hvordan statistikken kan defineres, så giver Søren sit bud, og Vikki Weigelt bekræfter, at de er på rette vej ved at svare: "Ja, lige præcis".

"Da, jeg spørger, om der er noget, de bemærker, byder Peter ind igen. Han har observeret, at mænd generelt tjener mere end kvinder. På trods af Brians irrelevante og provokerende kommentar om, at det så ikke måtte give så meget at stå på flisen, fortsætter Peter med at tale om statistikken. Han beskriver, hvordan indkomsten for mænd med grundskoleuddannelse er dalet med 24000 kroner fra 2000 til 2013. Bruges IC-modellen indgår Peter igen i en matematisk samtale, hvor der er skabt kontakt, og hvor han opdager, identificerer og tænker højt", skriver Vikki Weigelt.

I samtalen viser Peter interesse for, at kvinder har en lavere indkomst end mænd og for forskellen i indkomsten fra 2000 til 2013. At han holder fokus på matematikken på trods af Brians kommentar, kan være et tegn på en oprigtig interesse, mener hun. "I samtalen kombinerer jeg de to elementer med ved at kommenterer, at differensen mellem mænd og kvinders indkomstniveau er faldet. Bruges IC-modellen, er jeg inde og udfordre og reformulere. Jeg får dog selv afsluttet undersøgelsen ved at forklare resultatet af den og ved også selv at lave en prognose", siger hun.

Intentionen var at kaste en bold, som Peter kunne gribe, men det skete ikke. "Et bud på, hvorfor det ikke sker, kan være, at jeg faktisk ikke formår at give bolden op. I stedet giver jeg ham resultatet af en potentiel undersøgelse. Det lukker situationen, idet der dermed ikke umiddelbart er noget tilbage for Peter at beskæftige sig med i den forbindelse", siger Vikki Weigelt.

Eksempel er interessant, fordi det kunne tyde på, at Peter er interesse i stoffet, mener hun. "Det giver mulighed for, at han kan opleve det, som Klafki kalder den dobbeltsidige åbning, hvor stoffet åbner sig for eleven, så eleven også åbner sig for stoffet. Det vil sige, at arbejdet med stoffet får indflydelse på eleven og går ind og ændrer en del af eleven".

Når en elev oplever den dobbeltsidige åbning foregår en dannelsesproces, der er præget af den dobbeltsidige åbning, som Klafki kalder kategorial dannelse. Arbejder man ud fra den materiale dannelse, gør man stoffet til genstand for dannelsen. I det tilfælde ville det være graden af lært stof, der vil være udfaldsgivende for, om eleverne dannes. Den formale dannelse adskiller sig radikalt fra den materiale, idet den alene fokuserer på individets udvikling. Arbejder man ud fra en formal dannelsestanke, vil det altså sige, at man arbejder koncentreret og ensidigt med elevernes personlige udvikling. Klafki foretrækker en kombination, da mennesket har brug for inspirationen fra stoffet til at kunne udvikle sig. Det vil sige, at mennesket skal gennemgå en personlig udvikling gennem arbejdet med stoffet, og undervisningen skal derfor tilrettelægges på måder, så det bliver muligt. "Ligeledes skal stoffet udvælges med henblik på en sådan udvikling. At arbejde med de epokale nøgleproblemer ville være eksemplarisk, idet de per definition består af problematikker af stor signifikans i den verden, vi lever i, og idet arbejdet med dem netop fordrer en personlig udvikling indenfor de fire evner og holdninger", skriver Vikki Weigelt.

Låst fast i opgaveparadigmet

Vendes blikket igen mod casen og Peter, ser man, at han har mulighed for at indgå i en kategorial dannelsessituation, idet han allerede har ladet stoffet åbne sig for ham, og det giver mulighed for, at han kan åbne sig for stoffet. "Med mine kommentarer får jeg dog ikke skabt grobund for denne dannelsesproces. Jeg havde planlagt, hvad eleverne skulle nå i løbet af timen og lavet opgaver til dem. Mange elever ønskede min hjælp, og jeg var i et tidspres. Med andre ord: jeg ville så hurtigt som muligt have eleverne videre i processen, så de kunne få løst de andre opgaver inden opsamlingen på klassen", vurderer Vikki Weigelt.

"Jeg havde låst mig selv og eleverne fast i opgaveparadigmet", siger hun.

Arbejder man inden for opgaveparadigmet, er man fokuseret på, at opgaver skal løses, og at facit er korrekt. Skovsmose opfordrer til at udfordre opgaveparadigmet og lader eleverne arbejde i undersøgelseslandskaber. Et undersøgelseslandskab vil normalt være skabt på baggrund af en invitation til et givent emne, hvor eleven selv kan udfordre de forskellige elementer på et matematisk grundlag. "Men, som i tilfældet med Peter, er det også muligt at gribe elevernes egen motivation og lade dem arbejde undersøgende med emnet. Skulle det vært lykkedes med Peter, kunne jeg for eksempel have stillet ham spørgsmålet: 'Hvad, synes du, kunne være spændende at undersøge, når du ser denne statistik'", siger Vikki Weigelt.

"Der er god mulighed for, at det ville sætte noget i gang, idet Peter allerede har vist interesser for to aspekter i statistikken. Idet Peter i et sådant tilfælde ville arbejde kategorialt med et emne og have mulighed for at udforske det ud fra sine egne interesser inden for feltet, ville det kunne føre til en dobbeltsidig åbning, idet stoffet med hjælp fra Peters initiativer ville kunne folde sig ud for ham og derved påvirke hans bevidsthed, hans viden eller hans holdning indenfor det givne område", skriver hun.

(Se de øvrige analyser og diskussionen side 22-32 i projektet).

Arbejde med modelleringskompetence kræver stilladsering

"I min analyse af fagformålets dannelsesomfang under overskriften matematik som dannelsesfag i teorien, konkluderer jeg, at matematikfaget ifølge fagformålet skal tilrettelægges, så eleverne kan udvikle følgende af Klafkis begreber", skriver Vikki Weigelt og nævner:

• Den del af selvbestemmelsen som omhandler dagligliv og erhvervsliv,
• Medbestemmelse,
• Beredvillighed og evne til kritik,
• Evne til at tænke i sammenhænge,
• Erfaring med matematikkens egenskaber i forhold til argumentation.

Fagformålet stiller krav om, at matematikopgaver i høj grad skal befinde sig i kategori 4, 5 og 6 i Skovsmoses inddeling for matematikopgaver, og det kræver, at modelleringskompetencen kommer i brug. Det vil kræve, at eleverne skal være i stand til at arbejde inden for alle Blooms taksonomiske niveauer. Dermed bliver kompleksiteten så omfattende, at det er nødvendigt med et godt stilladseringsredskab. "I den forbindelse har jeg valgt at benytte mig af IC-modellen. Fordelen ved at kombinere modelleringskompetencen og IC-modellen er ydermere, at de begge bidrager til at skabe de af Klafkis grundholdninger og evner som fremgår i fagformålet:

• Arbejder man med modelleringskompetencen, vil arbejdet med evnen til at tænke i sammenhænge ifølge Blomhøj nødvendigvis blive implementeret, idet modelleringsarbejdet pr. definition skal skabe sammenhæng mellem matematik og andre områder.
• Blomhøj nævner også, at arbejdet med modelleringskompetencen skaber en kritisk dømmekraft i forhold til skabelsen og benyttelsen af matematiske modeller. Dermed arbejdes der også med beredvillighed og evne til kritik i forbindelse med modelleringsarbejdet.
• IC-modellen kan som kommunikationsredskab i matematikundervisningen bidrage ved at give eleverne erfaring med matematikken som argumentationsredskab".

"Gennem arbejdet med Oliver i de to cases nåede jeg til konklusionen, at man med fordel kan stille spørgsmål til de elever, der som udgangspunkt ikke har det korrekte svar, så der kan blive skabt kontakt, eleven kan reformulere, og eleven får mulighed for at tænke højt. Det vil kunne medføre, at eleven opdager og identificerer, og det kan give mulighed for, at læreren kan udfordre. Spørgetilgangen kan opøve elevernes kommunikationskompetence, og dermed vil den kunne imødekomme fagformålets dannelsessigte om, at eleverne skal erfare matematikkens muligheder som argumentationsredskab", skriver hun.

"I en situation, hvor eleven virker interesseret i arbejdet, og kontakten er blevet skabt, og eleven har tænkt højt, opdaget og identificeret, vil man, som konkluderet i forbindelse med analysen af Peter i case 2, med fordel kunne skabe et undersøgelseslandskab ved at stille spørgsmål på en måde, der udfordrer og reformulerer. Det vil kunne medføre den dobbeltsidige åbning som er karakteristisk for den kategoriale dannelse, hvor stoffet åbner sig for eleven, og eleven åbner sig for stoffet på en måde, så eleven gennemgår en udvikling", siger Vikki Weigelt.

I mødet med en elev med modstand til opgaven, blev det erfaret i analysen af Brian i de to cases, at det kan være vanskeligt at stilladsere på baggrund af IC-modellen, da selv kontakten kan være vanskelig at skabe. Hvis eleven føler sig ført ud af sin komfortzone, kan det virke negativt på elevens forgrund, hvis han ikke længere kan se potentielle positive muligheder i forbindelse med at deltage i arbejdet.

"Netop i forbindelse med det komplekse modelleringsarbejde kan en elev føle sig uden for sin komfortzone, idet arbejdet, i kraft af elevens forgrund, kan virke risikofyldt og afskrækkende. Det kan, som i Brians tilfælde, resultere i, at eleven zoomer ud gennem overraskende, humoristiske, seksuelle, barokke og amoralske kommentarer, da eleven kan vurdere, at der er bedre muligheder forbundet med denne reaktion", skriver Vikki Weigelt.

En løsning kan være at stille direkte, simple spørgsmål på en respektfuld måde, der ikke udstiller eleven. En sådan stilladsering vil kunne hjælpe eleven med selv at klare opgaverne og vil også kunne bidrage til, at eleven får udviklet sekundære dyder, siger hun.

Målstyring modarbejder dannelse

Målstyret undervisning kan blokere for fokus på dannelsen, er. Blandt andre Lars Qvortrup er en stærk fortaler for målstyret undervisning, og kommuner og skoleledere har i dag mulighed for at kræve af lærerne, at de arbejder målstyret.

Det kan være problematisk af flere årsager. For det første vil en stor del af lærernes forberedelsestid gå til målstyret undervisning, og arbejdet med fagformålet vil dermed risikere at ryge i baggrunden. Derudover mener såvel Klafki som Gert Biesta, at eleverne skal opleve en åbenbaring gennem stof eller en dobbeltsidig åbning, som medfører en dannelsesproces. Dermed bliver det primære i planlægningen af undervisningen, udvælgelse af emne og stof, hvorimod det ifølge tanken om målstyret undervisning bør vælges på baggrund af målet, som ifølge denne tanke er det primære.

I følge Biesta er der en naturlig risiko forbundet med at danne elever, idet denne proces hverken kan måles eller garanteres. Og hele tanken om, at elevernes udbyttet kan kvantificeres gennem målstyret undervisning, er i modstrid med den dannelsestanke, som er repræsenteret i projektet, siger Vikki Weigelt Pedersen.

Se hele professionsbachelorprojektet: